Funkcie

Funkcie patria medzi dôležité témy matematiky. Pomáhajú vyjadriť vzťah medzi dvoma veličinami. S funkciami sa stretávame pri práci s grafmi, tabuľkami, údajmi aj v praktických situáciách, napríklad pri výpočte ceny, času alebo spotreby.

Čo je funkcia

Funkcia je predpis, ktorý každému prvku z jednej množiny priraďuje práve jednu hodnotu z druhej množiny.

Jednoducho povedané:
každej hodnote x prislúcha jedna hodnota y.

Zapisujeme:
y = f(x)

Príklad:
y = 2x + 3

To znamená, že pre každé x vieme vypočítať hodnotu y.

Základné pojmy

Nezávislá premenná

Najčastejšie ju označujeme x. Je to hodnota, ktorú si vyberáme alebo dosadzujeme.

Závislá premenná

Najčastejšie ju označujeme y. Je to hodnota, ktorá závisí od x.

Definičný obor

Definičný obor je množina všetkých hodnôt, ktoré môžeme dosadiť za x.

Obor hodnôt

Obor hodnôt je množina všetkých výsledkov, ktoré funkcia môže nadobúdať.

Funkčná hodnota

Funkčná hodnota je výsledok, ktorý dostaneme po dosadení konkrétneho čísla za x.

Príklad:
Máme funkciu
y = 3x - 2

Určme funkčnú hodnotu pre x = 4

Postup:
y = 3 krát 4 - 2
y = 12 - 2
y = 10

Výsledok:
Pre x = 4 je hodnota funkcie 10.

Graf funkcie

Graf funkcie je znázornenie funkcie v súradnicovej sústave.

Na vodorovnej osi býva x.
Na zvislej osi býva y.

Graf nám ukazuje, ako sa mení hodnota y pri zmene x.

Lineárna funkcia

Lineárna funkcia má tvar:
y = ax + b

Kde:

• a je smernica

• b je úsek na osi y

Význam čísla a

• ak je a kladné, funkcia rastie

• ak je a záporné, funkcia klesá

• ak je a = 0, funkcia je konštantná

Význam čísla b

Číslo b určuje, kde graf pretína os y.

Príklad lineárnej funkcie

y = 2x + 1

Určme niekoľko bodov:

Pre x = 0:
y = 2 krát 0 + 1 = 1

Pre x = 1:
y = 2 krát 1 + 1 = 3

Pre x = 2:
y = 2 krát 2 + 1 = 5

Body:
(0, 1), (1, 3), (2, 5)

Tieto body môžeme zakresliť do grafu a spojiť priamkou.

Rastúca a klesajúca funkcia

Rastúca funkcia

Ak pri väčšom x rastie aj y, funkcia je rastúca.

Príklad:
y = 3x + 2

Klesajúca funkcia

Ak pri väčšom x hodnota y klesá, funkcia je klesajúca.

Príklad:
y = -2x + 4

Konštantná funkcia

Konštantná funkcia má tvar:
y = c

Hodnota y je stále rovnaká, bez ohľadu na x.

Príklad:
y = 5

Grafom je vodorovná priamka.

Kvadratická funkcia

Kvadratická funkcia má tvar:
y = ax na druhú + bx + c

Grafom kvadratickej funkcie je parabola.

Príklad:
y = x na druhú

Niekoľko hodnôt:

• pre x = -2 je y = 4

• pre x = -1 je y = 1

• pre x = 0 je y = 0

• pre x = 1 je y = 1

• pre x = 2 je y = 4

Nepriama úmernosť

Nepriama úmernosť má tvar:
y = k / x

Kde k je konštanta a x nesmie byť 0.

Príklad:
y = 6 / x

Keď x = 1, y = 6
Keď x = 2, y = 3
Keď x = 3, y = 2

Pri raste x hodnota y klesá.

Určenie definičného oboru

Pri niektorých funkciách nemožno dosadiť každé číslo.

Príklad:
y = 4 / x

Za x nemôžeme dosadiť 0, pretože delenie nulou nie je možné.

Definičný obor:
všetky reálne čísla okrem 0

Ukážkový príklad 1

Vypočítaj hodnotu funkcie
y = 2x + 5
pre x = 3

Postup:
y = 2 krát 3 + 5
y = 6 + 5
y = 11

Výsledok:
y = 11

Ukážkový príklad 2

Urči, či je funkcia
y = -4x + 2
rastúca alebo klesajúca.

Postup:
Smernica je -4.
Keďže je záporná, funkcia je klesajúca.

Výsledok:
Funkcia je klesajúca.

Ukážkový príklad 3

Urči definičný obor funkcie
y = 7 / (x - 1)

Postup:
Menovateľ nesmie byť nula.

x - 1 sa nesmie rovnať 0
x sa nesmie rovnať 1

Výsledok:
Definičný obor sú všetky reálne čísla okrem 1.

Dôležité zapamätať si

• funkcia priraďuje každej hodnote x práve jednu hodnotu y

• definičný obor určuje, aké hodnoty môžeme dosadiť

• obor hodnôt určuje, aké výsledky môžeme dostať

• lineárna funkcia má tvar y = ax + b

• ak je smernica kladná, funkcia rastie

• ak je smernica záporná, funkcia klesá

• pri zlomkoch nesmie byť menovateľ nula

• graf lineárnej funkcie je priamka

• graf kvadratickej funkcie je parabola