Algebraické výrazy

Algebraické výrazy patria k základným témam matematiky. Pracujeme v nich s číslami, písmenami a matematickými operáciami. Sú dôležité pri úprave výrazov, riešení rovníc, funkciách aj pri ďalších matematických témach.

Čo je algebraický výraz

Algebraický výraz je zápis, ktorý obsahuje:

• čísla

• premenné

• znamienka matematických operácií

Príklady algebraických výrazov:

• 3x + 5

• 2a - 7

• 4x na druhú + 3x - 1

• (2x + 1) / 3

Algebraický výraz nemá znak rovnosti. Ak obsahuje znak rovnosti, ide už o rovnicu.

Premenná a člen výrazu

Premenná

Premenná je písmeno, ktoré zastupuje neznáme alebo meniace sa číslo.

Príklady:

• x

• a

• y

Člen výrazu

Členy výrazu sú jednotlivé časti oddelené znamienkami plus alebo mínus.

Príklad:
Vo výraze
5x + 3 - 2x + 7
sú členy:

• 5x

• 3

• -2x

• 7

Podobné členy

Podobné členy sú také, ktoré majú rovnakú premennú v rovnakom tvare.

Príklady podobných členov:

• 3x a 5x

• 2a na druhú a -7a na druhú

Nie sú podobné:

• 3x a 3y

• 2a a 2a na druhú

Podobné členy môžeme sčitovať alebo odčitovať.

Príklady:

• 4x + 2x = 6x

• 7a - 3a = 4a

Úprava algebraických výrazov

Pri úprave algebraických výrazov sa snažíme výraz zjednodušiť. Najčastejšie:

• sčitujeme a odčitujeme podobné členy

• násobíme výraz zátvorkou

• vytýkame spoločný činiteľ

• používame vzorce

Sčítanie a odčítanie podobných členov

Príklad:
Uprav výraz:
3x + 5x - 2 + 7

Postup:

• 3x + 5x = 8x

• -2 + 7 = 5

Výsledok:
8x + 5

Násobenie zátvorky

Pri násobení zátvorky musíme každý člen v zátvorke vynásobiť číslom pred zátvorkou.

Príklad:
3(x + 4)

Postup:

• 3 krát x + 3 krát 4

• 3x + 12

Výsledok:
3x + 12

Príklad:
-2(a - 5)

Postup:

• -2 krát a + (-2) krát (-5)

• -2a + 10

Výsledok:
-2a + 10

Vytýkanie

Vytýkanie znamená, že z výrazu vyberieme spoločný činiteľ.

Príklad:
6x + 12

Oba členy majú spoločný činiteľ 6.

6x + 12 = 6(x + 2)

Príklad:
8a - 4ab

Spoločný činiteľ je 4a.

8a - 4ab = 4a(2 - b)

Rozklad podľa vzorcov

Pri úprave výrazov používame aj známe vzorce.

Dôležité vzorce

• (a + b) na druhú = a na druhú + 2ab + b na druhú

• (a - b) na druhú = a na druhú - 2ab + b na druhú

• a na druhú - b na druhú = (a - b)(a + b)

Príklad:
Rozlož výraz:
x na druhú - 9

Postup:
Ide o rozdiel štvorcov.

x na druhú - 9 = x na druhú - 3 na druhú = (x - 3)(x + 3)

Výsledok:
(x - 3)(x + 3)

Príklad:
Roznásob:
(x + 2) na druhú

Postup:
Použijeme vzorec:
(a + b) na druhú = a na druhú + 2ab + b na druhú

Teda:
(x + 2) na druhú = x na druhú + 2 x 2 + 2 na druhú
(x + 2) na druhú = x na druhú + 4x + 4

Výsledok:
x na druhú + 4x + 4

Lomené algebraické výrazy

Lomený algebraický výraz má premennú v čitateli alebo v menovateli.

Príklady:

• (x + 1) / 2

• 3 / x

• (x - 2) / (x + 5)

Pri takýchto výrazoch musíme určiť podmienky, aby menovateľ nebol nula.

Príklad:
Urči podmienku výrazu:
(2x + 1) / (x - 3)

Postup:
Menovateľ nesmie byť nula.

x - 3 sa nesmie rovnať 0
x sa nesmie rovnať 3

Výsledok:
Podmienka je: x sa nesmie rovnať 3

Ukážkový príklad 1

Uprav výraz:
5a + 3a - 2 + 6

Postup:

• 5a + 3a = 8a

• -2 + 6 = 4

Výsledok:
8a + 4

Ukážkový príklad 2

Roznásob:
4(x - 3)

Postup:

• 4 krát x - 4 krát 3

• 4x - 12

Výsledok:
4x - 12

Ukážkový príklad 3

Vytkni spoločný činiteľ:
9x + 6

Postup:
Spoločný činiteľ je 3.

9x + 6 = 3(3x + 2)

Výsledok:
3(3x + 2)