Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Táto téma patrí medzi dôležité časti matematiky. Pomáha nám počítať rôzne možnosti usporiadania, vyjadriť pravdepodobnosť náhodných javov a spracovať údaje pomocou základných štatistických ukazovateľov. Tieto poznatky sa využívajú v bežnom živote, v ekonomike, v prírodných vedách aj pri práci s údajmi.

Kombinatorika

Kombinatorika sa zaoberá počítaním možností, ako možno prvky usporiadať alebo vybrať.

Používa sa napríklad pri otázkach:

• Koľko rôznych možností existuje?

• Koľkými spôsobmi možno usporiadať prvky?

• Koľko rôznych výberov možno vytvoriť?

Základné pravidlo kombinatoriky

Ak sa jedna činnosť môže vykonať m spôsobmi a druhá n spôsobmi, potom obe činnosti spolu možno vykonať m krát n spôsobmi.

Príklad

Máme 3 tričká a 2 nohavice.
Koľko rôznych outfitov môžeme vytvoriť?

Postup:
3 krát 2 = 6

Výsledok:
Môžeme vytvoriť 6 rôznych outfitov.

Permutácie

Permutácie sú všetky možné usporiadania prvkov.

Príklad

Koľkými spôsobmi možno usporiadať písmená A, B, C?

Možnosti:

• ABC

• ACB

• BAC

• BCA

• CAB

• CBA

Výsledok:
Existuje 6 možností.

Vzorec pre permutácie

Pre n prvkov:
P = n!

Znak ! znamená faktoriál.

Príklady:

• 3! = 3 krát 2 krát 1 = 6

• 4! = 4 krát 3 krát 2 krát 1 = 24

• 5! = 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1 = 120

Variácie

Variácie sú usporiadané výbery niektorých prvkov.

Tu záleží na tom, ktoré prvky vyberieme aj v akom poradí.

Príklad

Z číslic 1, 2, 3 vytvorme dvojciferné čísla bez opakovania.

Možnosti:

• 12

• 13

• 21

• 23

• 31

• 32

Výsledok:
Existuje 6 možností.

Kombinácie

Kombinácie sú výbery prvkov, pri ktorých nezáleží na poradí.

Príklad

Máme žiakov A, B, C.
Koľkými spôsobmi môžeme vybrať dvojicu?

Možnosti:

• AB

• AC

• BC

Výsledok:
Existujú 3 možnosti.

Pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť vyjadruje, aká je šanca, že nastane určitý jav.

Vzorec:
P(A) = počet priaznivých možností / počet všetkých možností

Výsledok býva číslo od 0 do 1 alebo v percentách.

• 0 znamená nemožný jav

• 1 znamená istý jav

Príklad pravdepodobnosti

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode obyčajnou hracou kockou padne číslo 4?

Postup:

• priaznivých možností = 1

• všetkých možností = 6

P(A) = 1 / 6

Výsledok:
Pravdepodobnosť je 1/6.

Príklad s mincou

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode mincou padne znak?

Postup:

• priaznivých možností = 1

• všetkých možností = 2

P(A) = 1 / 2

Výsledok:
Pravdepodobnosť je 1/2.

Štatistika

Štatistika sa zaoberá zberom, spracovaním a vyhodnocovaním údajov.

Pomáha nám:

• zoradiť údaje

• vypočítať priemer

• nájsť typické hodnoty

• spracovať údaje do tabuliek a grafov

Aritmetický priemer

Aritmetický priemer vypočítame tak, že sčítame všetky hodnoty a vydelíme ich počtom hodnôt.

Príklad

Vypočítaj priemer čísel:
4, 6, 8, 10

Postup:
4 + 6 + 8 + 10 = 28
28 / 4 = 7

Výsledok:
Priemer je 7.

Medián

Medián je prostredná hodnota v usporiadanom súbore čísel.

Príklad

Urči medián čísel:
2, 4, 6, 8, 10

Prostredná hodnota je 6.

Výsledok:
Medián je 6.

Ak je párny počet čísel, medián je priemer dvoch prostredných hodnôt.

Príklad

Urči medián čísel:
2, 4, 6, 8

Prostredné hodnoty sú 4 a 6.

Medián = (4 + 6) / 2 = 5

Výsledok:
Medián je 5.

Modus

Modus je hodnota, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie.

Príklad

Urči modus čísel:
3, 5, 5, 7, 8

Číslo 5 sa vyskytuje najčastejšie.

Výsledok:
Modus je 5.

Ukážkový príklad 1

Koľko rôznych možností vznikne, ak si môžeme vybrať 4 druhy nápojov a 3 druhy koláčov?

Postup:
4 krát 3 = 12

Výsledok:
Vznikne 12 možností.

Ukážkový príklad 2

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne párne číslo?

Postup:
Párne čísla sú 2, 4, 6
Počet priaznivých možností = 3
Počet všetkých možností = 6

P(A) = 3 / 6 = 1 / 2

Výsledok:
Pravdepodobnosť je 1/2.

Ukážkový príklad 3

Urči aritmetický priemer čísel:
5, 7, 9, 11

Postup:
5 + 7 + 9 + 11 = 32
32 / 4 = 8

Výsledok:
Priemer je 8.

Dôležité zapamätať si

• kombinatorika počíta počet možností

• pri permutáciách usporadúvame všetky prvky

• pri variáciách záleží na poradí

• pri kombináciách na poradí nezáleží

• pravdepodobnosť je pomer priaznivých možností ku všetkým možnostiam

• aritmetický priemer je súčet hodnôt delený ich počtom

• medián je prostredná hodnota

• modus je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota