Stereometria

Stereometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá priestorovými telesami. Skúma ich tvar, povrch, objem a vzájomné vlastnosti. Táto téma je dôležitá pri riešení praktických úloh aj pri maturitnej príprave.

Čo je stereometria

Stereometria sa zaoberá telesami v priestore, teda útvarmi, ktoré majú:

• dĺžku

• šírku

• výšku

Medzi základné telesá patria:

• kocka

• kváder

• hranol

• valec

• ihlan

• kužeľ

• guľa

Základné pojmy

Povrch telesa

Povrch je súčet obsahov všetkých stien telesa.

Objem telesa

Objem vyjadruje, koľko priestoru teleso zaberá.

Kocka

Kocka je teleso, ktoré má:

• 6 rovnakých štvorcových stien

• 12 rovnako dlhých hrán

• 8 vrcholov

Vzorce pre kocku

• povrch: S = 6 krát a na druhú

• objem: V = a na tretiu

Príklad

Vypočítaj povrch a objem kocky s hranou 4 cm.

Postup:

• S = 6 krát 4 na druhú

• S = 6 krát 16

• S = 96 cm na druhú

• V = 4 na tretiu

• V = 64 cm na tretiu

Výsledok:
Povrch je 96 cm na druhú.
Objem je 64 cm na tretiu.

Kváder

Kváder je teleso, ktoré má 6 obdĺžnikových stien.

Vzorce pre kváder

• povrch: S = 2 krát (ab + ac + bc)

• objem: V = a krát b krát c

Príklad

Vypočítaj objem kvádra s rozmermi 2 cm, 3 cm a 5 cm.

Postup:
V = 2 krát 3 krát 5
V = 30 cm na tretiu

Výsledok:
Objem kvádra je 30 cm na tretiu.

Hranol

Hranol je teleso, ktoré má dve zhodné podstavy a bočné steny.

Vzorec pre objem hranola

V = Sp krát v

Kde:

• Sp je obsah podstavy

• v je výška telesa

Vzorec pre povrch hranola

S = 2 krát Sp + Spl

Kde:

• Spl je obsah plášťa

Valec

Valec je teleso, ktoré má dve kruhové podstavy a zakrivený plášť.

Vzorce pre valec

• objem: V = pí krát r na druhú krát v

• povrch: S = 2 krát pí krát r krát (r + v)

Kde:

• r je polomer podstavy

• v je výška valca

Príklad

Vypočítaj objem valca s polomerom 3 cm a výškou 5 cm.

Postup:
V = 3,14 krát 3 na druhú krát 5
V = 3,14 krát 9 krát 5
V = 3,14 krát 45
V = 141,3 cm na tretiu

Výsledok:
Objem valca je približne 141,3 cm na tretiu.

Ihlan

Ihlan je teleso, ktoré má jednu podstavu a bočné steny tvoria trojuholníky.

Vzorec pre objem ihlana

V = (Sp krát v) / 3

Kde:

• Sp je obsah podstavy

• v je výška ihlana

Kužeľ

Kužeľ má kruhovú podstavu a vrchol.

Vzorec pre objem kužeľa

V = (pí krát r na druhú krát v) / 3

Guľa

Guľa je teleso, ktorého všetky body na povrchu sú rovnako vzdialené od stredu.

Vzorce pre guľu

• povrch: S = 4 krát pí krát r na druhú

• objem: V = (4 krát pí krát r na tretiu) / 3

Ukážkový príklad 1

Vypočítaj objem kocky s hranou 5 cm.

Postup:
V = 5 na tretiu
V = 125 cm na tretiu

Výsledok:
Objem je 125 cm na tretiu.

Ukážkový príklad 2

Vypočítaj povrch kvádra s rozmermi 2 cm, 4 cm a 6 cm.

Postup:
S = 2 krát (2 krát 4 + 2 krát 6 + 4 krát 6)
S = 2 krát (8 + 12 + 24)
S = 2 krát 44
S = 88 cm na druhú

Výsledok:
Povrch je 88 cm na druhú.

Ukážkový príklad 3

Vypočítaj objem ihlana, ak obsah podstavy je 18 cm na druhú a výška je 9 cm.

Postup:
V = (18 krát 9) / 3
V = 162 / 3
V = 54 cm na tretiu

Výsledok:
Objem je 54 cm na tretiu.

Dôležité zapamätať si

• stereometria sa zaoberá telesami v priestore

• povrch je súčet obsahov všetkých stien

• objem vyjadruje veľkosť priestoru, ktorý teleso zaberá

• kocka má všetky hrany rovnaké

• kváder má obdĺžnikové steny

• valec má kruhové podstavy

• ihlan a kužeľ majú objem delený tromi

• pri telesách s kruhovou podstavou používame číslo pí

• guľa má osobitné vzorce pre povrch aj objem