Planimetria

Planimetria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá rovinnými útvarmi. Skúma ich vlastnosti, rozmery, obvody, obsahy a vzájomné vzťahy. Táto téma je dôležitá pri riešení praktických úloh aj pri maturitnej príprave.

Čo je planimetria

Planimetria sa zaoberá útvarmi v rovine, teda takými, ktoré majú dĺžku a šírku, ale nemajú objem.

Medzi základné rovinné útvary patria:

• štvorec

• obdĺžnik

• trojuholník

• kruh

• rovnobežník

• lichobežník

Základné pojmy

Obvod

Obvod je dĺžka celej hranice útvaru.

Obsah

Obsah je veľkosť plochy, ktorú útvar zaberá.

Štvorec

Štvorec je rovinný útvar, ktorý má:

• všetky strany rovnako dlhé

• všetky uhly pravé

Vzorce pre štvorec

• obvod: o = 4 krát a

• obsah: S = a na druhú

Príklad

Vypočítaj obvod a obsah štvorca so stranou 5 cm.

Postup:

• o = 4 krát 5 = 20 cm

• S = 5 na druhú = 25 cm na druhú

Výsledok:
Obvod je 20 cm.
Obsah je 25 cm na druhú.

Obdĺžnik

Obdĺžnik je útvar, ktorý má:

• protiľahlé strany rovnako dlhé

• všetky uhly pravé

Vzorce pre obdĺžnik

• obvod: o = 2 krát (a + b)

• obsah: S = a krát b

Príklad

Vypočítaj obvod a obsah obdĺžnika so stranami 4 cm a 7 cm.

Postup:

• o = 2 krát (4 + 7) = 2 krát 11 = 22 cm

• S = 4 krát 7 = 28 cm na druhú

Výsledok:
Obvod je 22 cm.
Obsah je 28 cm na druhú.

Trojuholník

Trojuholník je útvar s tromi stranami a tromi vrcholmi.

Vzorec pre obsah trojuholníka

S = (a krát va) / 2

Kde:

• a je strana

• va je výška na túto stranu

Príklad

Vypočítaj obsah trojuholníka, ak strana a = 8 cm a výška na túto stranu je 5 cm.

Postup:
S = (8 krát 5) / 2
S = 40 / 2
S = 20 cm na druhú

Výsledok:
Obsah trojuholníka je 20 cm na druhú.

Kruh

Kruh je množina bodov, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o polomer.

Dôležité pojmy

• r je polomer

• d je priemer

• d = 2 krát r

Vzorce pre kruh

• obvod: o = 2 krát pí krát r

• obsah: S = pí krát r na druhú

Za pí používame približne 3,14.

Príklad

Vypočítaj obsah kruhu s polomerom 3 cm.

Postup:
S = 3,14 krát 3 na druhú
S = 3,14 krát 9
S = 28,26 cm na druhú

Výsledok:
Obsah kruhu je približne 28,26 cm na druhú.

Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany rovnobežné.

Vzorce pre rovnobežník

• obvod: o = 2 krát (a + b)

• obsah: S = a krát va

Lichobežník

Lichobežník je štvoruholník, ktorý má aspoň jednu dvojicu rovnobežných strán.

Vzorec pre obsah lichobežníka

S = ((a + c) krát v) / 2

Kde:

• a a c sú rovnobežné strany

• v je výška

Pytagorova veta

Pytagorova veta platí v pravouhlom trojuholníku.

Vzorec:
a na druhú + b na druhú = c na druhú

Kde:

• a a b sú odvesny

• c je prepona

Príklad

Vypočítaj preponu pravouhlého trojuholníka, ak odvesny majú 6 cm a 8 cm.

Postup:
c na druhú = 6 na druhú + 8 na druhú
c na druhú = 36 + 64
c na druhú = 100
c = 10

Výsledok:
Prepona má dĺžku 10 cm.

Uhly v trojuholníku

Súčet vnútorných uhlov v trojuholníku je vždy 180 stupňov.

Príklad:
Ak má trojuholník dva uhly 50 stupňov a 60 stupňov, tretí uhol vypočítame:
180 - 50 - 60 = 70 stupňov

Ukážkový príklad 1

Vypočítaj obsah obdĺžnika so stranami 9 cm a 4 cm.

Postup:
S = 9 krát 4 = 36 cm na druhú

Výsledok:
Obsah je 36 cm na druhú.

Ukážkový príklad 2

Vypočítaj obvod štvorca so stranou 7 cm.

Postup:
o = 4 krát 7 = 28 cm

Výsledok:
Obvod je 28 cm.

Ukážkový príklad 3

Vypočítaj obsah trojuholníka, ak strana je 10 cm a výška 6 cm.

Postup:
S = (10 krát 6) / 2
S = 60 / 2
S = 30 cm na druhú

Výsledok:
Obsah je 30 cm na druhú.

Dôležité zapamätať si

• planimetria sa zaoberá rovinnými útvarmi

• obvod je dĺžka hranice útvaru

• obsah je veľkosť plochy útvaru

• pri štvorci sú všetky strany rovnaké

• pri obdĺžniku sú protiľahlé strany rovnaké

• obsah trojuholníka počítame ako strana krát výška delené dvoma

• pri kruhu používame číslo pí

• Pytagorova veta platí len v pravouhlom trojuholníku

• súčet vnútorných uhlov v trojuholníku je 180 stupňov