Postupnosti

Postupnosti patria medzi dôležité témy matematiky. Predstavujú usporiadané čísla, ktoré nasledujú podľa určitého pravidla. S postupnosťami sa stretávame pri pravidelne sa opakujúcich javoch, pri raste hodnôt, pri úrokoch aj pri rôznych výpočtoch v praxi.

Čo je postupnosť

Postupnosť je usporiadaná skupina čísel, v ktorej má každý člen svoje miesto.

Príklady:

• 2, 4, 6, 8, ...

• 5, 10, 15, 20, ...

• 3, 6, 12, 24, ...

Každé číslo v postupnosti nazývame člen postupnosti.

Označenie postupnosti

• a1 je prvý člen

• a2 je druhý člen

• a3 je tretí člen

• an je n-tý člen

Druhy postupností

Najčastejšie sa stretávame s:

• aritmetickou postupnosťou

• geometrickou postupnosťou

Aritmetická postupnosť

Aritmetická postupnosť je taká postupnosť, v ktorej rozdiel medzi dvoma susednými členmi je stále rovnaký.

Tento rozdiel označujeme d.

Príklad:
2, 5, 8, 11, 14, ...

Rozdiel medzi členmi je vždy 3.

Tu platí:
d = 3

Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti

an = a1 + (n - 1) krát d

Kde:

• a1 je prvý člen

• n je poradové číslo člena

• d je diferencie, teda rozdiel medzi susednými členmi

Príklad aritmetickej postupnosti

Urči 6. člen postupnosti:
4, 7, 10, 13, ...

Postup:

• a1 = 4

• d = 3

• n = 6

Dosadíme do vzorca:
a6 = 4 + (6 - 1) krát 3
a6 = 4 + 5 krát 3
a6 = 4 + 15
a6 = 19

Výsledok:
6. člen je 19.

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti

Vzorec:
Sn = n krát (a1 + an) / 2

Príklad na súčet

Vypočítaj súčet prvých 5 členov postupnosti:
2, 4, 6, 8, 10

Postup:

• n = 5

• a1 = 2

• a5 = 10

S5 = 5 krát (2 + 10) / 2
S5 = 5 krát 12 / 2
S5 = 5 krát 6
S5 = 30

Výsledok:
Súčet prvých 5 členov je 30.

Geometrická postupnosť

Geometrická postupnosť je taká postupnosť, v ktorej každý ďalší člen vznikne vynásobením predchádzajúceho člena stále tým istým číslom.

Toto číslo označujeme q.

Príklad:
3, 6, 12, 24, ...

Každý člen vznikne násobením číslom 2.

Tu platí:
q = 2

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

an = a1 krát q na (n - 1)

Kde:

• a1 je prvý člen

• q je kvocient

• n je poradové číslo člena

Príklad geometrickej postupnosti

Urči 5. člen postupnosti:
2, 4, 8, 16, ...

Postup:

• a1 = 2

• q = 2

• n = 5

Dosadíme:
a5 = 2 krát 2 na štvrtú
a5 = 2 krát 16
a5 = 32

Výsledok:
5. člen je 32.

Rozdiel medzi aritmetickou a geometrickou postupnosťou

Aritmetická postupnosť

Každý ďalší člen získame pripočítaním rovnakého čísla.

Príklad:
5, 8, 11, 14, ...

Geometrická postupnosť

Každý ďalší člen získame vynásobením rovnakým číslom.

Príklad:
5, 10, 20, 40, ...

Ukážkový príklad 1

Urči 8. člen aritmetickej postupnosti:
1, 4, 7, 10, ...

Postup:

• a1 = 1

• d = 3

• n = 8

a8 = 1 + (8 - 1) krát 3
a8 = 1 + 21
a8 = 22

Výsledok:
8. člen je 22.

Ukážkový príklad 2

Urči kvocient geometrickej postupnosti:
4, 12, 36, 108, ...

Postup:
q = 12 / 4
q = 3

Výsledok:
Kvocient je 3.

Ukážkový príklad 3

Urči 4. člen geometrickej postupnosti:
5, 10, 20, ...

Postup:

• a1 = 5

• q = 2

• n = 4

a4 = 5 krát 2 na tretiu
a4 = 5 krát 8
a4 = 40

Výsledok:
4. člen je 40.

Dôležité zapamätať si

• postupnosť je usporiadaná skupina čísel

• každý člen má svoje poradové číslo

• v aritmetickej postupnosti je stále rovnaký rozdiel

• v geometrickej postupnosti je stále rovnaký podiel

• n-tý člen aritmetickej postupnosti počítame pomocou vzorca

• n-tý člen geometrickej postupnosti počítame pomocou vzorca

• pri aritmetickej postupnosti vieme vypočítať aj súčet prvých n členov