Goniometria

Goniometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá uhlami a vzťahmi medzi stranami a uhlami v trojuholníku. Najčastejšie sa používa v pravouhlom trojuholníku pri výpočte neznámych strán a uhlov. Je dôležitá v geometrii, fyzike, technike aj v praktických úlohách.

Čo je goniometria

Goniometria skúma:

• uhly

• goniometrické funkcie

• vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka

Najčastejšie pracujeme s tromi základnými goniometrickými funkciami:

• sínus

• kosínus

• tangens

Pravouhlý trojuholník

Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorý má jeden uhol 90 stupňov.

Strany pravouhlého trojuholníka:

• prepona = strana oproti pravému uhlu

• odvesny = dve strany, ktoré tvoria pravý uhol

Základné goniometrické funkcie

Sínus

Sínus uhla je pomer dĺžky protiľahlej odvesny a prepony.

sin alfa = protiľahlá odvesna / prepona

Kosínus

Kosínus uhla je pomer dĺžky priľahlej odvesny a prepony.

cos alfa = priľahlá odvesna / prepona

Tangens

Tangens uhla je pomer dĺžky protiľahlej odvesny a priľahlej odvesny.

tg alfa = protiľahlá odvesna / priľahlá odvesna

Ako si to zapamätať

Pre konkrétny uhol v pravouhlom trojuholníku:

• protiľahlá odvesna je tá strana, ktorá leží oproti danému uhlu

• priľahlá odvesna je tá strana, ktorá sa dotýka daného uhlu

• prepona je vždy najdlhšia strana oproti pravému uhlu

Príklad na sínus

V pravouhlom trojuholníku je:

• protiľahlá odvesna = 3 cm

• prepona = 5 cm

Vypočítaj sin alfa.

Postup:
sin alfa = 3 / 5
sin alfa = 0,6

Výsledok:
sin alfa = 0,6

Príklad na kosínus

V pravouhlom trojuholníku je:

• priľahlá odvesna = 4 cm

• prepona = 5 cm

Vypočítaj cos alfa.

Postup:
cos alfa = 4 / 5
cos alfa = 0,8

Výsledok:
cos alfa = 0,8

Príklad na tangens

V pravouhlom trojuholníku je:

• protiľahlá odvesna = 6 cm

• priľahlá odvesna = 2 cm

Vypočítaj tg alfa.

Postup:
tg alfa = 6 / 2
tg alfa = 3

Výsledok:
tg alfa = 3

Výpočet strany pomocou goniometrie

Goniometrické funkcie používame aj na výpočet neznámej strany.

Príklad:
V pravouhlom trojuholníku je:

• sin alfa = 0,5

• prepona = 10 cm

Urči protiľahlú odvesnu.

Postup:
sin alfa = protiľahlá odvesna / prepona

0,5 = x / 10

x = 0,5 krát 10
x = 5

Výsledok:
Protiľahlá odvesna je 5 cm.

Výpočet uhla

Ak poznáme hodnotu goniometrickej funkcie, môžeme pomocou kalkulačky určiť aj veľkosť uhla.

Príklad:
sin alfa = 0,5

Potom:
alfa = 30 stupňov

Goniometria a pravouhlý trojuholník

Goniometrické funkcie používame len vtedy, keď vieme určiť:

• oproti ktorému uhlu počítame

• ktorá strana je protiľahlá

• ktorá strana je priľahlá

• ktorá strana je prepona

Ukážkový príklad 1

Vypočítaj sin alfa, ak protiľahlá odvesna je 8 cm a prepona je 10 cm.

Postup:
sin alfa = 8 / 10
sin alfa = 0,8

Výsledok:
sin alfa = 0,8

Ukážkový príklad 2

Vypočítaj cos alfa, ak priľahlá odvesna je 5 cm a prepona je 13 cm.

Postup:
cos alfa = 5 / 13

Výsledok:
cos alfa = 5 / 13
približne 0,38

Ukážkový príklad 3

Vypočítaj tg alfa, ak protiľahlá odvesna je 9 cm a priľahlá odvesna je 3 cm.

Postup:
tg alfa = 9 / 3
tg alfa = 3

Výsledok:
tg alfa = 3

Dôležité zapamätať si

• goniometria sa zaoberá uhlami a stranami trojuholníka

• sínus je pomer protiľahlej odvesny a prepony

• kosínus je pomer priľahlej odvesny a prepony

• tangens je pomer protiľahlej a priľahlej odvesny

• prepona je vždy oproti pravému uhlu

• pri výpočtoch treba správne určiť, ktorá strana je ktorá

• goniometrické funkcie sa často používajú v pravouhlom trojuholníku