Rovnice a nerovnice

Rovnice a nerovnice patria medzi základné témy matematiky. Pomáhajú nám hľadať neznámu hodnotu a riešiť rôzne praktické aj teoretické úlohy. Pri rovniciach hľadáme číslo, pre ktoré platí rovnosť, pri nerovniciach určujeme interval alebo množinu hodnôt, pre ktoré je splnená nerovnosť.

Čo je rovnica

Rovnica je matematický zápis, v ktorom vystupuje neznáma a znak rovnosti

Príklady:

• 2x + 3 = 11

• 5a - 7 = 8

• x na druhú - 4x + 3 = 0

Riešením rovnice je také číslo, ktoré po dosadení za neznámu urobí z rovnice pravdivé tvrdenie.

Lineárna rovnica

Lineárna rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma len v prvej mocnine.

Príklad:
2x + 3 = 11

Postup:

• od oboch strán odčítame 3

• 2x = 8

• obe strany vydelíme 2

• x = 4

Výsledok:
x = 4

Skúška správnosti

Po vyriešení rovnice je dobré urobiť skúšku.

Príklad:
2x + 3 = 11
x = 4

Dosadenie:
2 krát 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Keďže ľavá strana sa rovná pravej strane, riešenie je správne.

Rovnice s neznámou v zátvorke

Príklad:
3(x + 2) = 15

Postup:

• roznásobíme zátvorku

• 3x + 6 = 15

• odčítame 6

• 3x = 9

• vydelíme 3

• x = 3

Výsledok:
x = 3

Rovnice so zlomkami

Pri rovniciach so zlomkami sa snažíme odstrániť menovatele.

Príklad:
x / 2 = 6

Postup:

• obe strany vynásobíme 2

• x = 12

Výsledok:
x = 12

Slovné úlohy na rovnice

Rovnice sa často používajú pri riešení praktických úloh.

Príklad:
Súčet čísla a 5 je 17. Urči číslo.

Postup:

• označíme neznáme číslo x

• zostavíme rovnicu: x + 5 = 17

• odčítame 5

• x = 12

Výsledok:
Hľadané číslo je 12.

Čo je nerovnica

Nerovnica je matematický zápis, v ktorom používame znaky:

• < menšie ako

• väčšie ako
  
  
  

• <= menšie alebo rovné

• = väčšie alebo rovné
  
  
  

Príklady:

• 2x - 4 > 6

• 3x + 1 <= 10

• x - 5 >= 2

Riešením nerovnice je množina všetkých hodnôt, pre ktoré je nerovnosť pravdivá.

Lineárna nerovnica

Príklad:
2x - 4 > 6

Postup:

• pripočítame 4

• 2x > 10

• vydelíme 2

• x > 5

Výsledok:
x je väčšie ako 5

Dôležité pravidlo pri nerovniciach

Ak obe strany nerovnice násobíme alebo delíme záporným číslom, znak nerovnosti sa otočí.

Príklad:
-2x > 8

Postup:

• delíme obe strany číslom -2

• pri delení záporným číslom otočíme znak

• x < -4

Výsledok:
x je menšie ako -4

Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica obsahuje neznámu na druhú.

Všeobecný tvar:
ax na druhú + bx + c = 0

Diskriminant

Pri riešení kvadratickej rovnice používame diskriminant.

Vzorec:
D = b na druhú - 4ac

Podľa hodnoty diskriminantu:

• ak D > 0, rovnica má 2 riešenia

• ak D = 0, rovnica má 1 riešenie

• ak D < 0, rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel

Vzorec na výpočet koreňov

x1,2 = (-b +- odmocnina z D) / 2a

Príklad kvadratickej rovnice

Rieš rovnicu:
x na druhú - 5x + 6 = 0

Postup:

• a = 1, b = -5, c = 6

• D = (-5) na druhú - 4 krát 1 krát 6

• D = 25 - 24

• D = 1

Teraz dosadíme do vzorca:

• x1 = (5 + 1) / 2 = 3

• x2 = (5 - 1) / 2 = 2

Výsledok:
x1 = 3
x2 = 2

Sústava dvoch rovníc

Sústava dvoch rovníc obsahuje dve rovnice s dvoma neznámymi. Riešením je dvojica čísel, ktorá vyhovuje obom rovniciam.

Príklad:
x + y = 7
x - y = 1

Postup:

• sčítame obe rovnice

• 2x = 8

• x = 4

• dosadíme do prvej rovnice

• 4 + y = 7

• y = 3

Výsledok:
x = 4, y = 3

Ukážkový príklad 1

Rieš rovnicu:
4x - 8 = 20

Postup:

• pripočítame 8

• 4x = 28

• vydelíme 4

• x = 7

Výsledok:
x = 7

Ukážkový príklad 2

Rieš nerovnicu:
3x + 2 <= 11

Postup:

• odčítame 2

• 3x <= 9

• vydelíme 3

• x <= 3

Výsledok:
x je menšie alebo rovné 3

Ukážkový príklad 3

Rieš rovnicu:
(x / 3) + 2 = 5

Postup:

• odčítame 2

• x / 3 = 3

• vynásobíme 3

• x = 9

Výsledok:
x = 9

Dôležité zapamätať si

• rovnica obsahuje znak rovnosti

• riešením rovnice je číslo, ktoré robí rovnicu pravdivou

• pri nerovniciach určujeme množinu riešení

• pri delení alebo násobení záporným číslom sa znak nerovnosti mení

• pri kvadratickej rovnici používame diskriminant

• skúška správnosti pomáha overiť výsledok